Les formules mathématiques essentielles pour la 3ème

L’année de 3ème est cruciale pour chaque élève, notamment avec le passage du brevet des collèges. Les mathématiques occupent une place importante dans ce programme et maîtriser les formules mathématiques essentielles peut faire toute la différence lors de l’examen. Dans cet article, nous explorerons les principales formules que vous devez connaître en classe de 3ème, en passant par la géométrie des figures telles que le carré, le rectangle, ainsi que les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires.

Géométrie des figures planes

Le carré et ses propriétés

Un carré est une figure géométrique à quatre côtés égaux et quatre angles droits.

• La formule pour calculer le périmètre d’un carré :
  1. P = 4 × côté
• La formule pour calculer l’aire d’un carré :
  1. A = côté²

Par exemple, pour un carré de côté 5 cm : le périmètre sera P = 4 × 5 = 20 cm, et l’aire sera A = 5² = 25 cm².

Le rectangle et ses propriétés

Un rectangle est une figure géométrique avec deux paires de côtés parallèles et opposés égaux, ainsi que quatre angles droits.

• La formule pour calculer le périmètre d’un rectangle :
  1. P = 2 × (longueur + largeur)
• La formule pour calculer l’aire d’un rectangle :
  1. A = longueur × largeur

Pour un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm : le périmètre sera P = 2 × (8 + 3) = 22 cm, et l’aire sera A = 8 × 3 = 24 cm².

Le triangle et ses propriétés

Un triangle est une figure géométrique à trois côtés et trois sommets. Il en existe plusieurs types selon les longueurs de leurs côtés et les mesures de leurs angles. Voici les formules importantes associées aux triangles :

Triangle quelconque

• La formule pour calculer le périmètre d’un triangle :
  1. P = côté_a + côté_b + côté_c
• La formule pour l’aire via la hauteur correspondante h sur une base b :
  1. A = ½ × base × hauteur

Pour un triangle avec une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm : l’aire sera A = ½ × 6 × 4 = 12 cm².

Triangle rectangle

Un triangle rectangle possède un angle de 90 degrés (droit). Le théorème de Pythagore s’applique dans ce cas :

• Théorème de Pythagore dans un triangle ABC rectangle en C :
  1. AB² = AC² + BC²
• La formule pour trouver l’hypoténuse c, étant AB = c :
  1. c = √(a² + b²)

Pour un triangle avec les côtés adjacents à l’angle droit mesurant 3 cm et 4 cm : l’Hypoténuse sera c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.

Propriétés des droites

Les droites parallèles

Les droites parallèles sont deux droites dans un même plan qui ne se rencontrent jamais, quelles que soient leurs prolongations. Elles sont toujours équidistantes :

• Propriétés clés des droites parallèles :
  1. Équidistance constante
  2. Pas de point d’intersection
• Conventions de notation : Si « d » et « d’ » sont deux droites :
  1. d // d’

Exemple pratique : dans un rectangle, les aires des côtés opposés sont représentées par des droites parallèles.

Les droites perpendiculaires

Les droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent sous un angle de 90 degrés. Perpendiculaire se traduit géométriquement par un angle droit à l’intersection :

• Propriétés clés des droites perpendiculaires :
  1. Coupe sous angle droit
  2. Intersection unique

Convention de notation : Si « d » et « d’ » sont deux droites orthogonales :

1. d ⊥ d’

Un exemple pratique est l’intersection entre deux axes coordonnées dans un repère orthonormal – X et Y.

Algèbre et ses applications

Les identités remarquables

En troisième, trois identités remarquables sont particulièrement étudiées :

• Le carré d’une somme : (a+b)² = a² + 2ab + b²
• Le carré d’une différence : (a-b)² = a² – 2ab + b²
• La différence de carrés : (a-b)(a+b) = a² – b²

Ces identités sont souvent utiles pour factoriser ou développer certaines équations algébriques complexes.

Résolution d’équations

La résolution d’équations linéaires et quadratiques est aussi essentielle en classe de 3ème. Par exemple :

• Équation linéaire : ax + b = 0 où solution est x = -b/a
• Équation quadratique : ax² + bx + c = 0, utilisant Δ= b² – 4ac

Avec Δ >= 0, les formules deviennent : x₁, x₂ = (-b ±√Δ ) / 2a. Appliquons un exemple simple avec a = 1, b = -3 et c = 2 :

1. Δ= (-3)² – 4*1*2 = 1 donc 2 racines réelles distinctes
2. x₁, x₂ = (3 ± 1) / 2 soit x₁ = 2 et x₂ = 1

Applications pratiques en examen

Finalement, ces matières susmentionnées n’étant pas exhaustives, elles aideront grandement à sécuriser des notions évaluées directement, vous préparant adéquatement pour les épreuves du brevet. Assurez-vous d’être bien préparé pour réussir sans aucun doute et renforcer votre confiance en vos capacités.