Un guide complet sur les formules mathématiques en terminale

Les années de terminale sont cruciales pour les étudiants, particulièrement en mathématiques, où divers concepts complexes doivent être maîtrisés. Cet article propose une vue d’ensemble des différentes formules requises dans le programme de terminale, incluant des notions telles que les séries, les limites, la continuité, mais aussi la dérivation et l’intégration.

Les suites : arithmétiques et géométriques

Définition d’une suite

Une suite mathématique est une liste ordonnée de nombres suivant une règle spécifique. Les deux types principaux étudiés en terminale sont les suites arithmétiques et géométriques.

Suite arithmétique

Une suite arithmétique se définit par un terme initial et une différence constante entre chaque terme consécutif. La formule générale est donnée par :

• u_n = u₁ + (n – 1)d

où u_n est le n-ième terme, u₁ le premier terme et d la différence commune. Par exemple, si u₁ = 2 et d = 3, alors les premiers termes sont 2, 5, 8, 11…

Suite géométrique

Une suite géométrique possède un premier terme et une raison constante multipliée à chaque étape. Sa formule générale est :

• u_n = u₁(r^(n – 1))

où r est la raison et u₁ le premier terme. Par exemple, avec u₁ = 3 et r = 2, les termes successifs sont 3, 6, 12, 24…

Les limites : approche infinie

Définir une limite

La notion de limite permet de comprendre le comportement des fonctions ou suites lorsque leurs variables tendent vers un certain point. Cela inclut souvent la tendance vers l’infini.

Limites de suites

Pour une suite {u_n} tendant vers L quand n tend vers l’infini, on note :

• lim(u_n) = L

Si la limite existe, la suite est dite convergente. Si elle ne converge pas, elle est divergente ou oscille.

Limites de fonctions

Pour une fonction f(x) approchant L tandis que x tend vers a, notation usuelle :

• lim(x → a) f(x) = L

Par exemple, si lim(x → ∞) (1/x) = 0, cela décrit comment 1/x diminue à mesure que x augmente.

La continuité : régularité des fonctions

Qu’est-ce que la continuité ?

Une fonction est dite continue lorsque ses valeurs varient sans interruption à proximité de tout point de son domaine.

Critère de continuité

Formellement, une fonction f est continue à un point a si :

• lim(x → a) f(x) = f(a)

Cela signifie que la valeur de la fonction à ce point correspond à la limite de la fonction lorsqu’on s’approche de ce point.

Exemples de fonctions continues

Des fonctions comme les polynômes sont continuellement définies partout. Par exemple, f(x) = 2x² + 3x + 1 est continu pour toute valeur réelle de x.

Dérivation : analyse des variations

Concept de dérivée

La dérivée d’une fonction mesure le taux de variation instantané de celle-ci. Elle est notée f'(x) ou dy/dx si y = f(x).

Règles de dérivation

Plusieurs règles existent pour trouver les dérivées :

• (c)’ = 0 pour une constante c
• (x^n)’ = nx^(n-1)
• (u ± v)’ = u’ ± v’
• (uv)’ = u’v + uv’
• ((u/v)’) = (u’v – uv’)/v² pour v ≠ 0

Ces règles permettent de dériver toutes sortes de fonctions, simplifiant ainsi leur étude comportementale.

Applications de la dérivée

La dérivée est essentielle pour analyser les points critiques, déterminer les maxima et minima locaux, et étudier la convexité des courbes. Par exemple, pour f(x) = x³ – 3x² + 2, les dérivées nous renseignent sur ses pentes ascendantes et descendantes.

Intégration : calcul des aires

Principe de l’intégration

L’intégration est l’opération contraire de la dérivation. Elle permet de déterminer l’aire sous une courbe représentée par une fonction f(x). Notée à partir d’une somme infinie de rectangles sous la courbe, elle utilise des techniques appelées intégrales.

Intégrales définies et indéfinies

Une intégrale indéfinie représente une famille de fonctions primitives de f(x), symbolisée :

• ∫f(x)dx

Avec F'(x) = f(x). Une intégrale définie calcule une aire spécifique entre deux bornes a et b :

• ∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)

Méthodes et techniques d’intégration

Plusieurs techniques facilitent l’intégration :

• Intégration par parties : ∫u dv = uv – ∫v du
• Changement de variable : remplacez x par une nouvelle variable t

Par exemple, s’il est complexe de travailler directement avec ∫x e^(x²) dx, un changement de variable pourrait simplifier le processus.

Les fonctions exponentielles : croissance rapide

Introduction aux exponentielles

Les fonctions exponentielles sont caractérisées par leur forme f(x) = a^x où a est une constante positive non unitaire. Elles sont omniprésentes en mathématiques et sciences naturelles en raison de leur rapidité de croissance.

Propriétés des exponentielles

Elles obéissent à des propriétés distinctives :

• a³ * a⁵ = a^(3+5)
• (a^m)^n = a^(mn)
• a^-n = 1/a^n

Ces propriétés facilitent la manipulation et résolution d’équations impliquant des fonctions exponentielles, en particulier lors de calculs scientifiques et financiers.

Étude de la fonction e^x

Le cas particulier où a = e (la base naturelle approximée à 2.71828…) donne la fonction e^x, largement exploitée pour modéliser des phénomènes naturels tels que les croissances démographiques ou financières. Ses dérivées et intégrales se révèlent particulièrement simples :

• d/dx(e^x) = e^x
• ∫e^x dx = e^x + C

Cette simplicité rend e^x extrêmement pratique pour diverses applications analytiques.